数论基础知识

篇一：数论基础知识

1. 倍数规律

末位系：2的倍数规律是末位数是偶数（即末位数是2的倍数），5的倍数规律是末位数是0或5（也即末位数是5的倍数）；4的倍数规律是末两位数是4的倍数（例如：28是4的倍数，则128、1128、23574335435328都是4的倍数），同样，25的倍数规律也是末两位是25的倍数；8的倍数规律是末三位是8的倍数，125的倍数规律是末三位是125的倍数。

练习：23400是上面提到的哪些数的倍数？（提示：0是任何数的倍数。）

数位和系：3或9的倍数规律是各个数位相加之和是3或9的倍数（例如：1+2+3=6是3的倍数但不是9的倍数，则123、321、213等等都是3的倍数而不是9的倍数；3+6=9既是3的倍数也是9的倍数，所以36、63也既是3的倍数也是9的倍数。）练习：[ ]里能填哪些数可以使12[ ]34是3的倍数？9的倍数呢？

数位差系：11的倍数规律是从后往前数奇数位上的数之和减去偶数位上的数之和是11的倍数。（若不够减则可通过加上11的倍数使其够减。）例：231，从后往前数，第1位是1，第2位3，第3位是2，所以奇数位的和是1+2=3，偶数位的和是3，所以奇数位和减偶数位和等于3-3=0是11的倍数，因此231就是11的倍数。6160，奇数位和等于1+0=1，偶数位和等于6+6=12，奇数位和减偶数位和不够减，但加上一个11以后就够减了，变成了1+11-12=0是11的倍数，所以6160是11的倍数。

7、11、13的倍数有个公共的规律，即将末3位与之前断开，形成两个新的数之差是7、11、13的倍数。例如：1012，把末三位断开后刚好变成了1与014（也就是12），于是这两数的差是11，因此是13的倍数，因此1014就是13的倍数。练习：判断下列各数是不是7、11或13的倍数。

1131、25795、34177、12345

2. 分解质因数

把一个整数拆成成若干个质数（质数即只有1和本身作为因数的大于一的整数，如2、3、5、7??）相乘的形式。例：“100?2?2?5?5”就叫做把100分解质因数，而不能是100?2?10?5，因为10还可以进一步分解为2?5。

练习：把下列各数分解质因数。

36=

24=

81=

96=

3. 质因数与整除的关系

例：12?2?2?3，则12的倍数分解质因数后都得包含至少两个2和一个3（看上道题36和24的分解结果。）；12的因数分解质因数以后则必须包含了两个2和一个3之内，比如6?2?3、4?2?2、2、3都包含在12分解质因数的“组成”里。

练习：例如上面告诉的方法，以及36分解质因数的结果（上道题），写出36所有的因数。

篇二：数论基础知识

数论基础知识.txt丶︶￣喜欢的歌，静静的听，喜欢的人，远远的看我笑了当初你不挺傲的吗现在您这是又玩哪出呢？全文:

数论的基本知识

本文将简单地介绍有关整数集合Z={?,-2,-1,0,1,2,?}和自然数集合N={0,1,2,?}的最基本的数论概念。

可除性与约数

一个整数能被另一个整数整除的概念是数论中的一个中心概念，记号d|a（读作“d 除a”）意味着对某个整数k，有 a = kd。0可被每个整数整除。如果a>0且d|a，则|d|?|a|。如果d|a，则我们也可以说a是d的倍数。如果a不能被d整除，则写作dFa。

每个整数a都可以被其平凡约数1和a整除。a的非平凡约数也称为a的因子。例如， 20的因子有2，4，5和10。

素数与合数

对于某个整数a>1，如果它仅有平凡约数1和a，则我们称a为素数(或质数)。素数具有许多特殊性质，在数论中举足轻重。按顺序，下列为一个小素数序列:

2，3，5，6，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，?

不是素数的整数a>1称为合数。例如，因为有3|39，所以39是合数。整数1被称为基数，它既不是质数也不是合数。类似地，整数 0和所有负整数既不是素数也不是合数。

定理 1

素数有无穷个。

证明：

假设素数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1,p2,...,pn，则 x = (p1·p2·...·pn)+1 显然是不能被p1,p2,...,pn中的任何一个素数整除的，因此x也是一个素数，这和只有n个素数矛盾，所以素数是无限多的。

这个证明的最早来自亚里士多德，非常漂亮，是反证法的经典应用，这个证明被欧拉称为“直接来自上帝的证明”，历代的数学家也对其评价很高。

除法定理，余数和同模

已知一个整数n，所有整数都可以分划为是n的倍数的整数与不是n的倍数的整数。对于不是n的倍数的那些整数，我们又可以根据它们除以n所得的余数来进行分类，数论的大部分理论都是基于上述分划的。下列定理是进行这种分划的基础。

定理2 (除法定理)

对任意整数a和任意正整数n，存在唯一的整数q和r，满足0 < r ? n，并且a = qn + r 。

这个定理是整数的基本定理之一，这里就不给出具体证明了。

值q=?a/n? 称为除法的商（? x? 表示地板符号floor，即小于等于x的最大整数）。值 r = a mod n 称为除法的余数。我们有n|a 当且仅当 a mod n = O，并且有下式成立：

(1)

或

(2)

当我们定义了一个整数除以另一个整数的余数的概念后，就可以很方便地给出表示同余的特殊记法。如果 (a mod n)=(b mod n)，就写作 a ≡ b (mod n)，并说a和b对模n是相等的。换句话说，当a和b除以n有着相同的余数时，有a ≡ b (mod n)。等价地有，a ≡ b (mod n)当且仅当n|(b - a)。如果a和b对模n不相等，则写作a T b (mod n)。例如， 61≡ 6 (mod

11)，同样，-13≡ 22≡2 (mod 5)。

根据整数模n所得的余数可以把整数分成n个等价类。模n 等价类包含的整数a为：

例如，[3]7={?,-11,-4,3,10,17,?}，该集合还有其他记法[-4]7和[10]7。a ∈[b]n 。就等同于a ≡ b(mod n)。所有这样的等价类的集合为:

(3)

我们经常见到定义

(4)

如果用0表示[0]n，用1表示[1]n。等等，每一类均用其最小的非负元素来表示，则上述两个定义(3)和(4)是等价的。但是，我们必须记住相应的等价类。例如，提到Zn的元素-1就是指[n-1]n，因为-1 = n-1 (mod n)。

公约数与最大公约数

如果d是a的约数并且也是b的约数，则d是a与b的公约数。例如，24与30的公约数为1,2,3和6。注意，1是任意两个整数的公约数。

公约数的一条重要性质为:

(5)

更一般地，对任意整数x和y，我们有

(6)

同样，如果a|b，则或者|a|?|b|，或者b=O，这说明：

(7)

两个不同时为0的整数a与b的最大公约数表示成gcd(a,b)。例如，gcd(24,30)=6，gcd(5,7)=1，gcd(0,9)=9。如果a与b不同时为0，则 gcd(a,b)是一个在1与min(|a|,|b|)之间的整数。我们定义gcd(O,0)=0，这个定义对于使gcd函数的一般性质(如下面的式 (11))普遍正确是必不可少的。

下列性质就是gcd函数的基本性质：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

定理 3

如果a和b是不都为0的任意整数，则gcd(a,b)是a与b的线性组合集合{ ax + by : x,y ∈Z}中的最小正元素。

证明：

设s是a与b的线性组合集中的最小正元素，并且对某个x,y ∈Z，有s = ax + by，设q = ?a/s? ，则式(2)说明

因此，a mod s也是a与b的一种线性组合。但由于a mod s < s，所以我们有a mod s = O，因为s是满足这样的线性组合的最小正数。因此有s|a，并且类似可推得s|b。因此，s是a与b的公约数，所以gcd(a，b)? s。因为gcd(a，b)能同时被a与b整除并且s是a与b的一个线性组合，所以由式(6)可知gcd(a,b)| s 。但由gcd(a,b)|s 和s > O，可知 gcd(a,b)?s。而上面已证明gcd(a,b)?s，所以得到gcd(a,b) = s，我们因此可得到s是a与b的最大公约数。

推论 4

对任意整数a与b，如果d|a并且d|b，则d|gcd(a,b)。

证明：

根据定理3，gcd(a，b)是a与b的一个线性组合，所以从式(6)可推得该推论成立。

推论 5

对所有整数a 和b以及任意非负整数n，gcd(an ,bn)=n gcd(a,b)。

证明：

如果n = 0，该推论显然成立。如果n ≠ 0，则gcd(an,bn)是集合{anx + bny}中的最小正元素，即为集合{ax + by}中的最小正元素的n倍。

推论 6

对所有正整数n，a和b，如果n|ab并且gcd(a,n)=1，则n|b。

证明：

（略）

互质数

如果两个整数a与b仅有公因数1，即如果gcd(a,b)=1，则a与b称为互质数。例如，8和15是互质数，因为8的约数为1，2，4，8，而15的约数为1，3，5，15。下列定理说明如果两个整数中每一个数都与一个整数p互为质数，则它们的积与p与互为质数。

定理 7

对任意整数 a，b和p，如果gcd(a,p)=1且gcd(b,p)=1，则gcd(ab,p)=1。

证明：

由定理3可知，存在整数x，y，x'，y' 满足

ax+py=1

bx'+py'=1

把上面两个等式两边相乘，我们有

ab(xx')+p(ybx'+y'ax+pyy') = 1

因为1是ab与p的一个正线性组合，所以运用定理3就可以证明所需结论。

对于整数n1,n2,?,nk，如果对任何 i≠j 都有gcd(ni,nj)=1，则说整数n1,n2,?,nk两两互质。

唯一的因子分解

下列结论说明了关于素数的可除性的一个基本但重要的事实。

定理 8

对所有素数p和所有整数a，b，如果p|ab，则pla或者p|b。

证明：

为了引入矛盾，我们假设p|ab，但pFa并且pFb。因此，gcd(a,p)=1 且gcd(b,p)=1，这是因为p的约数只有1和p。又因为假设了p既不能被a也不能被b整除。据定理7可知，gcd(ab,p)=1；又由假设p|ab可知gcd(p,ab)=p，于是产生矛盾，丛而证明定理成立。

从定理8可推断出，一个整数分解为素数的因子分解式是唯一的。

定理 9 (唯一质因子分解)

任意的整数a能且仅能写成一种如下积的形式

其中pi为自然数中的第i个素数，p1<p2<?<pr，且ei为非负整数（注意ei可以为0）。

证明：

（略）

例如，数6000可唯一地分解为24·31·53。

这个定理非常重要，在计算理论中很多重要的定理都可以基于这个定理来证明，因为这个定理实际上给出了Z和Z*的一一对应关系，换句话说，任何的整数a都可以用一组整数(e1,e2,?,er)来表示，，反之也成立，其中a和(e1,e2,?,er)满足定理9的公式。比如6000可以用一组整数(4,1,3)表示，因为6000=24·31·53。从另一个角度看，这也提供了一种大整数的压缩方法，可惜由于这种分解太费时间，所以此压缩方法并不可行:-(。但是在很多定理的证明中（尤其是计算理论，形式语言和数理逻辑的定理中），用这种方法可以将一串的整数用唯一的一个整数来表示。比如在一台图灵机中，输入是一串长度不定的整数，经过某种转换，输出另外一串长度不定的整数，我们可以用定理9将输入和输出都用唯一的一个整数来表示，这样转换的过程就看作是一个简单的从整数集到整数集的函数，对我们从理论上研

篇三：数论基础

数论基础

一、知识点介绍

一、整除

1．整除的定义

两个整数a和b(b≠0)，若存在整数k，使得a=bk，我们称a能被b整(本文来自：WWW.xiaocaoFanwEn.cOM 小草范文网:数论基础知识)除，记作b|a．

2．数的整除特征

（1）1与0

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a．

0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则a|0．

（2）能被2，5；4，25；8，125；3，9；11，7，13整除的数的特征：

能被2整除的数的特征：个位为0，2，4，6，8的整数能被2整除，我们记为2k(k为整数)．能被5整除的数的特征：个位数为0或5的整数必被5整除，我们记为5k(k为整数)．

能被4、25整除的数的特征：末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必能被4（25）整除．

能被8，125整除的数的特征：末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除．

能被3，9整除的数的特征：各个数位上数字之和能被3或9整除的整数必能被3或9整除．能被11整除的数的特征：一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差如果是11的倍数，则这个数就能被11整除．

能被7，11，13整除的数的特征：一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除．

二、同余

1．同余的定义

给定一个正整数m(?2)，如果两个整数a, b除以m所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a≡b(modm)；如果余数不相同，则称a与b对模ma≡b(modm)

2．同余的性质

（1）自反性：a≡a(modm)(a为任意自然数)

（2）对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)

（3）传递性：若a≡b(modm), b≡c(modm)，则a≡c(modm)

（4）可加减性：若a≡b(modm), c≡d(modm)，则a±c≡b±d(modm)

（5）可乘性：若a≡b(modm), c≡d(modm)，则ac=bd(modm)

（6）可乘方性：若a≡b(modm), n∈N+，则an=bn(modm)

注意：一般地同余没有“可除性”，但是

（7）如果：ac≡bc(modm)且(c, m)=1，则a≡b(modm)

m如果ac≡bc(modm), (c, m)=d，则a≡b(mod) d

（8）如果a≡b(modm), a≡b(modn)且[m, n]=k，则a≡b(modk)（[m, n]表示m, n的最小公倍数）

（9）设p∈N+, p?2，则任何一个p进制自然数与其数码和(p进制下各数码之和)对模p-1同余；特别地，p=10时，是我们熟知的“弃九法”的理论依据．

三．数论中的几个常用结论

（1）若a≡b(modm)，则m|(a-b)

（2）任意连续n个自然数的积一定是n!的倍数

r1rn2（3）整数A的正约数个数与正约数和的计算公式：如果A分解因式为：A=p1?pr

2???pn

则A的全体正约数的个数为：(r1+1)3(r2+1)3?3(rn+1)

A的全体正约数的和为：(1+p1+?+p11)(1+p2+?+pr

22)?(1+pn+?+pr

nn)

（4）对于整数a, b, q, r，若a=bq+r，则(a, b)=(b, r)

（5）关于x, y的不定方程ax+by=c，当且仅当(a, b)|c时，方程有整数解

（6）(a, b)[a, b]=ab

bd(b,d)bd[b,d];[,]?（7）(,)? ac[a,c]ac(a,c)r

（8）ax≡b(modm)有解的充要条件为：(a, m)|b

四、几个著名数论定理

1．费马小定理设p是素数，a是与p互素的任一整数，则ap-1≡1(modp).

费马小定理有一个变异的形式，这有时更为适用：对任意整数a有 ap≡a(modp)．

二、典型例题

例1：已知直角三角形的三条边长都是整数，证明：至少有一条直角边的边长是3的倍数．分析：由条件中的直角三角形想到勾股定理，进一步由都是整数，想到利用勾股来完成．证：设x, y是两直角边长，z是斜边长．

则x2+y2=z2，若(x, y, z)=k，则x=ka, y=kb, z=kc，

则a2+b2=c2且(a, b, c)=1，故m, n∈N+，使a=m2-n2, b=2mn, c=m2+n2

①若m, n中有一个能被3整除，则3|b, ∴3|y；

②若m, n中没有被3整除的，令m=3s+p, n=3t+q(p, q=1或2)

由a=(m+n)(m-n)知，当p=q时，3|m-n；当p≠q时，3|m+n，

都有3|a, ∴3|x，故x, y中至少有一个是3的倍数．

例2：试求使2m+3n为完全平方数的所有正整数m, n．

分析：利用完全平方数及整数的性质，分析式子，讨论奇偶性．

解：设2m+3n=x2，显然2 x，由，则x2≡1(mod3)，∴2m≡1(mod3)，故2|m，令m=2s，由22s=x2-3n知x2-3n≡0(mod4), 即x2-(-1)n≡0(mod4)，而x，∴x2≡1(mod4)，故n为偶数，令n=2t，得22s=x2-32t=(x-3t)(x+3t)，∵x是奇数，故x±3t均为偶数．可设

x-3t=2α, x+3t=2β(β>α?1且α+β=2s)．若α?2, 则β?3，有

4|2α+2β，而2α+2β=(x-3tt)=2x, ∴2|x与x矛盾．故α=1，从而β=2s-1?2,

t3??x?3?2t2s-2t2s-2tts?由?得3=2-1，即3+1=2, ∵s?2，∴3+1≡0(mod4)，即(-1)+1≡0(mod4)，∴t2s?12??x?3?2

t为奇数．由22s-2=3t+1=(3+1)(3t-1-3t-2+?+-3+1)．第二个因式是t个奇数的代数和，而t为奇数，故此和为奇数，故t=1，于是s=2, m=4, n=2．此时24+32=52，故(m, n)=(4, 2)为所求．

例4：已知正整数 x=1913?311715，求x的末二位数．分析：100=4325，观察更小的模．

解：设x=19a, a为奇数，

（1）∵19≡3≡-1(mod4), ∴x=19a≡(-1)a=-1≡3(mod4) ①

（2）∵19≡-6(mod25), 192≡36≡11(mod25), 193≡113(-6)=-66≡9(mod25),

194≡-54≡-4(mod25), 195≡(-4)(-6) ≡-1(mod25), 1910≡1(mod25)

记a=17k, k为奇数，∵17≡-3(mod10), 172≡9≡-1(mod10), 173≡(-3)(-1) ≡3(mod10), 174≡1(mod10)，又∵15≡-1(mod4)，而k=15b, b为奇数，故k≡(-1)b=-1≡3(mod4)，令k=4q+3，∴a=174q+3=174q2173≡173≡3(mod10)，令a=10m+3, ∴x=19q=1910m2193≡193≡9(mod25) ②

由①②及孙子定理，可得x≡59(mod100)．故x的末二位数是59．

例6：设n∈N+，整数k与n互质，且0<k<n，令M={1, 2, ?，n-1}，给M中每个数染上黑白两种颜色中的一种，染法如下：

（1）对M中每个i，i与n-i同色；

（2）对M中每个i(i≠k)，i与|k-i|同色．

求证：M中所有的数必为同色．

分析：由(k, n)=1，可构造模n的完系，再利用两个条件及同余知识给予证明．

证明：∵(k, n)=1, 又0，1，2，?，n-1是模n的一个完系，∴0, k, 2k, ?，(n-1)k也是模n的一个完系．设jk=rj(modn)，其中1?rj?n-1, j=1, 2, ?，n-1，故M={r1, r2, ?，rn-1}．

下证：rj+1与rj同色(1?j?n-2)

（∵若如此，当r1的颜色确定后，M中所有数都与r1同色）．

事实上，由于(j+1)k≡rj+1(modn)，∴rj+k≡rj+1(modn)

①若rj+k<n时，则rj+1=rj+k，由（2）知rj+1与|k-rj+1|=|k-k-rj|=rj同色；

②若rj+k>n时，则rj+1=rj+k-n，由（1）知，k-rj+1=n-rj与n-(n-rj)=rj同色．

由（2）知，k-rj+1与|k-(k-rj+1)|=rj+1同色．

故rj+1与rj同色．

由①②知，rj+1与rj同色，故命题得证．

立体几何

一、知识点介绍

一、空间中的角

求二面角，一般要先作出二面角的平面角，作法一般有：1）在棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线；2）利用三垂线及三垂线逆定理；3）作棱的垂面；4）利用射影面积公式cos??S射影

S.还有一些特殊方法，如向量法以及下面（四）的结论2，3，4等.

二、空间中的距离

空间中的距离指的是空间点、线、面之间的距离.一般是作出垂线，求出垂线段的长度即为所求的距离.垂线段不易直接求解的话，也可用向量法或体积法求距离.

三、多面体与球

1、多面体

多面体特别是四面体体积的计算是常见的题目，常见的方法有①直接法；②换底法；③割补法；④等积变化法；⑤比例法；⑥向量法等。

常见的一些结论：①（欧拉定理）简单多面体的顶点V、棱数E、面数F满足V-E+F=2。

②直角四面体（有三个面是共一个直角顶点的直角三角形，第四个面称为斜面）的内切球半径r及外接球半径R

分别为r?3VS1?S2?S3?S4?;RSa?b?c③等腰四面体（以过长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体）的内切球半径

r及外接球半径R

分别为Rr（其中p?(a?b?c),k?(a2?b2?c2)）。

2、球

由于球的任一截面为圆，所以圆的许多性质，如切线定理、切割线定理、相交弦定理对球仍然成立。注意过球心的截面即球的大圆的特殊性。很多球内接或外接球的问题要想办法抛开圆，利用一点球心在多面体内进行相关的量的求解。

例6（1999年全国高中联赛试题）已知三棱锥S?ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上1212

的射影H是△SBC的垂心，二面角H?AB?C的平面角等于30?,SA＝2.那么三棱锥S?ABC的体积为__________．

分析：透彻理解垂心的意义，熟练运用线与线之间的垂直条件。

解：如图10所示，由题设，AH⊥平面SBC，连接BH并延长，与SC

交于点E，则BH⊥SC，由三垂线定理可知，SC⊥AE，SC⊥AB，故SC⊥

平面ABE．设S在平面ABC内的射影为O，则SO⊥平面ABC．由三垂线

定理之逆定理可知，CO⊥AB，BO⊥AC，故O为△ABC的垂心．又因为

△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=23．设

CO的延长线与AB交于点F，因为CF⊥AB，SC⊥AB，由三垂线定理知

EF⊥AB，所以∠EFC是二面角H-AB-C的平面角，故∠EFC=30°，∠FCE=60°，所以OC=SC2cos60°=23??3,SO=SC2sin60°

＝AB=3OC=3?3=3．

所以VS-ABC=?1

3329?3?3?． 44123．又OC=AB，故?332

评注求解过程中，证明“S在平面ABC内的射影O为底面△ABC的垂心”是关键，事实上，可以证明下面的结论：若四面体的一个顶点在其对面三角形上的射影为其垂心，则四面体的任一顶点在其对面三角形上的射影均为其垂心．

评注本题采用了补形的办法，把棱台问题转化为四面体问题，给求解带来了简便．

例（1996年全国联赛试题）高为8的圆台内有一个半径1的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与O1，圆台的下底面及

侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球个数是。

A．1 B．2 C．3 D．4

分析：球内的问题要想办法画出截面图，尽量在平面图形上完成问题。

解：作过O2的圆台的轴截面，如图4－17。再作过O2与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的

轴并于圆O1由图a，易求得O1O2=4。

这个问题等价于：在以O为圆心，4为半径的圆上，除O2外最多还可放几个点，使以这些点及

O2为圆心，3为半径的圆彼此至多有一个公共点，由图4－18：

360?3sin45°<sinθ=<sin60°，所以45°<θ<60°，所以最多还可以放入[]-1=3-1=2个点，42?

满足上述要求。

即圆台内最多还可以放入半径为3的球2个。故选B。

变式1（1995年中国数学奥林匹克第10届冬令营）空间四个球，它们的半径分别为2、2、3、3。每个球都与其他三个球外切，另有一个球与这四个球都外切，求这个小球的半径。

解：设半径为3的球心为A、B，半径为2的球的球心为C、D。考虑四面体ABCD，易知AB=6

，

CD=4，AC=AD=BC=BD=5。设小球球心为O，半径为r，则O点在四面体ABCD内，且AO=BO=3+r。取AB的中点E，连CE、DE，则AB⊥EC、AB⊥CD，因此平面CDE是AB垂直平分面?，故0∈?。又CO=DO=2+r，故O点在CD的垂直平分面?内，而因ED=EC，故O在ΔECD边CD的高EF上。易得：ED=EC=4，故ΔECD为等边三角形，

EF=。

又OF2=OC2-CF2(2+r)2-22=r(4+r)

OE2=AO2-AE2=(3+r)2-32=r(6+r)

三、练习题

1. （第10届希望杯邀请赛试题）在正四棱锥O-ABCD中，∠AOB＝30°，面OAB和面OBC所成的二面角的大小是?

，且cos??c，其中a,b,c?N，且b不被任何质数平方整除，则a?b?c?____.

2．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为。

3．（1997年全国联赛试题）如图13，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得AECF???(0?????)，记f(?)??????，其中??表示EFA EBFD

与AC所成的角，??表示EF与BD所成的角．则.

(A)f(?)在(0,??)单调增加.

(B)f(?)在(0,??)单调减少.

(C)f(?)在（0，1）单调增加．在(1,??)单调减少.

(D)f(?)在(0,??)为常数. E D 图13

4．三棱锥V-ABC的三个侧面及底面ABC的面积分别为3，4，5，6，三个侧面的斜高相等，则V到底面的距离为

___________.

(D5.（2004年全国联赛试题）正方体ABCD?A1BC二面角A?BD1?A1的度数是11D1中，

6.(1997年全国联赛试题）已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S,A,B,C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为_____________.

7． P到二面角??l??的棱l的距离为2，点P到两平面?,?

角??l??的度数为_____________.

8.（第二届美国数学竞赛题）设P,Q是正四面体ABCD内的二点，求证：?PAQ?60?.

9.（2001年湖南省预赛试题）已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD?底面ABCD，设PD=6，M,N分别为PB,AB的中点.