篇一：函数表达式(例题+练习题)
函数表达式
【教学目标】
1. 让学生充分掌握求函数解析式的方法
2. 学生能够独立解题
【重点难点】求函数表达式的方法
【教学内容】求函数解析式的常用方法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设f(x)是一次函数，且f，求f(x) [f(x)]?4x?3
解：设f(x)?ax?b (a?0)，则
2f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?ax?ab?b
?a?2a??2?a2?4? 或 ?? ???b?1b?3ab?b?3???
?f(x)?2x?1 或 f(x)??2x?3
xx?121．设f(x)是一元二次函数, g,且g, (x)?2?f(x)(x?1)?g(x)?2?x
求f(x)与g(x).
变式训练．设二次函数f(x)满足f,且图象在y轴上截距为1,(x?2)?f(?x?2)
在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的表达式.
二、 配凑法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。
1 (x?0) ，求 f(x)的解析式 2x
1121解：?， x??2 f(x)?(x)?2xxx例2 已知f(x)?x2
2 ? (x?2) f(x)?x?21x
三、换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知f，求f(x?1x?1)?xx)
1，则t?1，x?(解：令t?x?t?1)x?1)?xx?f
22 (t)?(t?1)?2(t?1)?t?1,?f
2 (x?1) ?f(x)?x?1
22 (x?0) ?f(x?1)?(x?1)?1?x?2x2
1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.
1x变式训练．若f()?,求f(x). x1?x
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数y的图象关于点(?2,3)对称，求g(x)的解析式 ?x?x与y?g(x)2
?(x??)为M(x,y)关于点(?2,3)的对称点 解：设M(x,y)为y?g(x)上任一点，且M,y
?x??x?2??2?x???x?4 则?，解得：? ， y??y?y?6?y???3?2
?(x??)在y?g,y(x)上?点M
2???? ?yx?x
把??x???x?4代入得：
?y??6?y
26?y?(?x?4)?(?x?4)
2整理得y??x?7x?6
2 (x)??x?7x?6?g
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设f(x)满足f(x)?2f)?x,求f(x)
解 ?f(x)?2f)?x ①
显然x?0,将x换成1x1x1，得： x
11f)?2f(x) ② xx
解① ②联立的方程组，得：
x2f(x)??33x
1．设函数f(x)是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式
13f(x)?2f)?4x,求f(x)的解析式. x
x?1变式训练．若f(,求f(x). x)?f)?1?xx
例6 设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)?g(x)式
解 ?f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
?f(?x)?f(x),g(?x)??g(x)
又f(x)?g(x)1,试求f(x)和g(x)的解析x?11 ① ， x?1
1 x?1用?x替换x得：f(?x)?g(?x)?即f(x)?g(x)?1②x?1
解① ②联立的方程组，得
11，g(x)?x2?1x2?x
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性” f(x)?的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：f(0恒成立，)?1，对于任意实数x、y，等式f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)
求f(x)
解?对于任意实数x、y，等式f恒成立， (x?y)?f(x)?y(2x?y?1)
不妨令x?0，则有f(?y)?f(0)?y(?y?1)?1?y(y?1)?y?y?1再令 ?y?x 得函数解析式为：f (x)?x?x?122
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过
迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设f(x)是定义在N?上的函数，满足f(1)?1，对任意的自然数a,b 都有
，求f(x) f(a)?f(b)?f(a?b)?a
解? f， (a)?f(b)?f(a?b)?ab，a,b?N?
，得：f， ,b?1(x)?f(1)?f(x?1)?x?不妨令a?x
又f ① (1)?1,故f(x?1)?f(x)?x?1
分别令①式中的x 得： ?1,2?n?1
f(2)?f(1)?2,
f(3)?f(2)?3,
??
f(n)?f(n?1)?n,
将上述各式相加得：f， (n)?f(1)?2?3??n
n(n?1)?f(n)?1?2?3?n2
121 ?f(x)xx,x?N?22
【过手练习】
1. 已知函数f(x)满足2，则f(x)= 。 f(x)?f(?x)34?x?
2. 已知f(x)是二次函数，且f，求f(x)的解析式。 (x?1)??f(x1)2??x4x2
【拓展训练】
1. 求下列函数的定义域：
10⑴y（2
）y ?(2x?1)11x?1
2. 设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的定义域为 ；2
函数f?2)的定义域为 。
3. 若函数f(x?1)的定义域为[?2，x?1)的定义域是 ；函数3]，则函数f(2
篇二：逻辑学课后练习题答案
二、在下列命题或推理中，哪些具有共同的逻辑形式，用公式表示出来。
1和5：所有S是P
2和7：所有 P是M，所有S不是M，所以，所有S不是P。
3和8：只有p，才q。
6和9：如果p，那么q；p；所以，q。
三、选择题（选择一个或多个恰当选项作为答案）。
1. C2. C 3. A B C D4. B E
一、判定下列断定的正误。
1. 错误 2. 错误3. 正确4. 错误 5. 错误
6. 正确 7. 错误8. 错误
二、运用本章的相关知识以及相关常识，回答下列问题。
1. 错误。定义过宽。
2. 错误。定义过宽。
3. 错误。“勇敢”和“勇敢的战士”之间不存在属种关系。
4. 错误。“喜马拉雅山”和“珠穆朗玛峰”之间不存在属种关系。
三、在以下各句的括号中填入哪个或哪些选项是适当的？
1. C 2. A B C3. A4. A 5. B
6. B C 7. B 8. B9. B C 10. A C
四、下列各题中括号内的话，是从内涵方面还是从外延方面来说明标有横线的概念的？
1. 分别从内涵和外延两个方面。
2. 从内涵方面。
3. 分别从内涵和外延两个方面。
4. 分别从内涵和外延两个方面。
5. 分别从内涵和外延两个方面。
6. 分别从内涵和外延两个方面。
五、从两种概念分类的角度（单独概念与普遍概念、正概念和负概念）说明下列各题中标有横线的概念属于哪一种类。
1. “美术作品”是普遍概念、正概念。
2. “《孔乙己》”是单独概念、正概念；“作品”是普遍概念、正概念。
3. “非司机”是普遍概念、负概念。
4. “中国女子排球队” 是单独概念、正概念；“世界冠军” 是普遍概念、正概念。
5. “中国工人阶级” 是单独概念、正概念。
6. “国家检察机关” 是单独概念、正概念。
六、试分析下列各题中标有横线的语词是在集合意义下使用的，还是在非集合意义下使用的？
1. 集合
2. 非集合
3. 非集合
4. 集合
5. （1）集合 （2）非集合 （3）非集合
6. 集合
7. 集合
七、下列各组概念是什么关系？
1. 真包含2. 全异（反对）3. 交叉 4. 真包含于
5. 全异 6. 全异（矛盾）7. 全同 8. 全异（反对）
八、用欧拉图表示下列各题中标有横线的概念之间的关系：
1.
C A D B
2.
A B C D
3.
B
C
4.
CA B
D
5.
A B D
九、用欧拉图表示下列各题中概念之间的关系：
1
B C
D
2.
3.
AB
4.
DA
B
5.
A B C
6.
A
7.同3
8.
D
9.
A C D
十、对下列概念各作一次限制与概括。
1. 限制为“教授”，概括为“劳动者”。
2. 限制为“七律”，概括为“文学形式”。
3. 限制为“公牛”，概括为“哺乳动物”。
4. 限制为“美国”，概括为“国家”。
5. 限制为“发动机”，概括为“工业产品”。
6. 限制为“中国历史学”，概括为“科学”。
十一、下列概念的限制和概括是否正确？为什么？
1. 限制正确。概括错误，因为“学生”和“知识分子”不是属种关系。
2. 限制错误，因为“勇敢的人”是对象，“勇敢”是属性，二者不具有属种关系。概括正确。
3. 限制正确。概括错误，因为并非违法行为都是犯罪行为，二者不具有属种关系。
4. 限制错误，因为“军队”和“人民战士”不具有属种关系。概括正确。
5. 限制错误，因为限制是从属概念到种概念。概括错误，因为“喜马拉雅山脉”与“喜马拉雅山最高峰”不具有属种关系。
6. 限制和概括均正确。
十二、下列表述作为连续限制或连续概括是否正确？为什么？
1. 错误。不具有属种关系。
2. “中国北方最大的城市”概括为“中国最大的城市”错误，二者不具有属种关系。其余正确。
3. 错误。单独概念不能限制。
4. “洪秀全”限制为“青年时代的洪秀全”错误，因为单独概念不能限制。其余正确。
十三、下列判断作为定义是否正确？为什么？
1. 错误。定义过宽。
2. 错误。定义过窄。
3. 错误。定义不能使用比喻。
4. 正确。
5. 错误。循环定义。
十四、20世纪初，美国有家报纸征求关于“新闻”这一概念的定义，应征者很多。现将应征的定义举出如下四项，请指出它们是否正确？为什么？
1. 错误。定义过宽。
2. 错误。定义过窄。
3. 错误。定义过窄。
4. 错误。定义过宽。对正概念下定义不得使用否定句。
十五、下面三例从事实上说明关于“健康”这一概念的所作的相关定义是不确切的。请从逻辑上分析这些定义各犯有什么错误？
1. 错误。定义过宽。
2. 错误。对正概念下定义不得使用否定句。
3. 错误。定义过宽。定义含糊。
十六、下列语句是否为语词定义？
1. 是。
2. 是。
3. 不是。
4. 是。
十七、下列各题是不是划分？为什么？
1. 不是划分，是分解。
2. 是划分。
3. 是划分。
4. 不是划分，是分解。
十八、下列各题作为划分是否正确？请说明理由。
1. 不都正确。有“划分标准不同一”和“子项相容”的错误。例如，“长篇小说”、“短篇小说”划分标准是篇幅，而“现代小说”的划分标准是时间。这就造成“长篇小说”与“现代小说”相容。
2. 错误。多出子项。兄弟、姐妹不属于直系亲属。
篇三：函数解析式求法总结及练习题
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．
它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 例1 设解：设
f(x)是一次函数，且f[f(x)]?4x?3，求f(x)．
f(x)?ax?b(a?0)，则 f[f(x)]?af(x)?b?a(ax?b)?b?a2x?ab?b
， ??
a2?4???
?ab?b?3
?a?2?a??2
． 或 ?
?b?3?b?1
?f(x)?2x?1 或 f(x)??2x?3．
二、配凑法：已知复合函数凑法．但要注意所求函数
f[g(x)]的表达式，求f(x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配
f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域．
11
f(x?)?x2?2 (x?0) ，求 f(x)的解析式．
xx
11122
解：?f(x?)?(x?)?2， x??2， ?f(x)?x?2 (x?2)．
xxx
例2 已知
三、换元法：已知复合函数
f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数
的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 例3 已知解：令t
f(x?1)?x?2x，求f(x?1)．
?x?1，则t?1，x?(t?1)2 ．
f(x?1)?x?2x， ?f(t)?(t?1)2?2(t?1)?t2?1,
?f(x)?x2?1 (x?1)，?f(x?1)?(x?1)2?1?x2?2x (x?0)．
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数
y?x2?x与y?g(x)的图象关于点(?2,3)对称，求g(x)的解析式．
y?g(x)上任一点，且M?(x?,y?)为M(x,y)关于点(?2,3)的对称点．
解：设M(x,y)为
则
?x??x
?2??2?x???x?42
，解得：? ，?点M?(x?,y?)在y?g(x)上 ， ?y??x??x?． ?y??y
?y??6?y??3
?2
把?
?x???x?42
代入得：6?y?(?x?4)?(?x?4)．
?y??6?y
y??x2?7x?6， ?g(x)??x2?7x?6．
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整理得
五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．
1
f(x)满足f(x)?2f()?x,求f(x)．
x
11
解 ?f(x)?2f()?x ① 显然x?0,将x换成
xx
x2
解① ②联立的方程组，得：f(x)???．
33x
例5 设例6 设
，得：
11
f()?2f(x)? ② xx
f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)?g(x)?
f(x)?g(x)
1
,试求f(x)和g(x)的解析式 x?1
解 ?f(?x)?f(x),g(?x)??g(x)，又
11 ① ，用?x替换x得：f(?x)?g(?x)??，即x?1x?1
f(x)?g(x)??
1
② ，解① ②联立的方程组，得f(x)?1，g(x)?1x?1x2?xx2?1
1
小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、f()；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对
x
称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简
单化，从而求得解析式．
例7 已知：
解
f(0)?1，对于任意实数x、y，等式f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，求f(x)．
f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，
对于任意实数x、y，等式不妨令x再令
?0，则有f(?y)?f(0)?y(?y?1)?1?y(y?1)?y2?y?1．
?y?x 得函数解析式为：f(x)?x2?x?1．
例5：已知
f(0)?1,f(a?b)?f(a)?b(2a?b?1),求f(x)。
解析：令a?0,则
f(?b)?f(0)?b(1?b)?b2?b?1 令?b?x 则f(x)?x2?x?1
小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。
七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解
析式． 例8 设 解? 又
f(x)是定义在N?上的函数，满足f(1)?1，对任意的N a,b 都有f(a)?f(b)?f(a?b)?ab，求f(x)
f(a)?f(b)?f(a?b)?ab，a,b?N?，?不妨令a?x,b?1，得：f(x)?f(1)?f(x?1)?x，
f(1)?1,故f(x?1)?f(x)?x?1 ①
，f(n)?f(n?1)?n
令①式中的x＝1，2，?，n－1得：f(2)?f(1)?2，f(3)?f(2)?3，将上述各式相加得： ?
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f(n)?f(1)?2?3??n，?f(n)?1?2?3??n?
n(n?1)
， 2
f(x)?
121
x?x,x?N? 22
三、练习
（一）换元法1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 2．若（二）．配变量法3．已知
（三）．待定系数法5．设
求
6．设二次函数式.
（四）．解方程组法 7．设函数解析式.
8．（1）若
（五）．特殊值代入法9．若
1x
f()?
x1?x
,求
f(x).
11f(x?)?x2?2
xx
, 求
f(x)的解析式. 4．若f(x?1)?x?2x,求f(x).
f(x)是一元二次函数, g(x)?2x?f(x),且g(x?1)?g(x)?2x?1?x2,
f(x)与g(x).
f(x)满足f(x?2)?f(?x?2),且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的表达
1
f(x)是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式3f(x)?2f()?4x,求f(x)的
x
f(x)?f(
x?1
)?1?x,求f(x). （2）若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x). x
f(x?y)?f(x)?f(y),且f(1)?2，求值
f(2)f(3)f(4)f(2005)
?????. f(1)f(2)f(3)f(2004)
10．已知：
（六）．利用给定的特性求解析式. 11．设
12．对x∈R,
例6、已知函数求
f(0)?1，对于任意实数x、y，等式f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)恒成立，求f(x)
f(x)是偶函数,当x＞0时, f(x)?e?x2?ex,求当x＜0时，f(x)的表达式.
f(x)满足f(x)??f(x?1),且当x∈[－1,0]时, f(x)?x2?2x求当x∈[9,10]时f(x)的表达式.
f(x)对于一切实数x,y都有f(x?y)?f(y)?(x?2y?1)x成立，且f(1)?0。(1)求f(0)的值；(2)
f(x)的解析式。
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练 习
求函数的解析式
例1．已知f (x)= x?2x，求f (x?1)的解析式． （ 代入法 / 拼凑法 ）
2
变式1．已知f (x)= 2x?1， 求f (x)的解析式．
2
变式2．已知f (x+1)＝x?2x?3，求f (x)的解析式．
例2．若f [ f (x)]＝4x＋3，求一次函数f (x)的解析式． （ 待定系数法 ）
变式1．已知f (x)是二次函数，且f?x?1??f?x?1??2x2?4x?4，求f (x)．
例3．已知f (x)?2 f (－x)＝x ，求函数f (x)的解析式． （ 消去法/ 方程组法 ）
变式1．已知2 f (x)? f (?x)＝x＋1 ，求函数f (x)的解析式．
变式2．已知2 f (x)?f ?
例4．设对任意数x，y均有f?x?y??2f?y??x?2xy?y?3x?3y，
2
2
2
?1?
?＝3x ，求函数f (x)的解析式． ?x?
求f（x）的解析式． （ 赋值法 / 特殊值法）
变式1．已知对一切x，y∈R，f?x?y??f?x???2x?y?1?y都成立，且f（0）=1， 求f（x）的解析式．
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