篇一：第二类曲线积分典型例题解析
高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析
例1 若对任意的x，y有解：由格林公式将
?Q?x
??P?y
，设C是有向闭曲线，则Pdx?Qdy．
C
C
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
??
?
D
(
?Q?x
?
?P?y
)dxdy
其中D为C l围成的平面区域，及条件
?Q?x
?P?y
知，应该填写：0
例2．?ydx?xdy?_______，其中l是延圆周(x?1)2?(y?1)2?1正向一周．
l
解：因为圆周(x?1)2?(y?1)2?1所围圆面积D为：12??，由格林公式得：
?
l
ydx?xdy?
??
D
(1?1)dxdy=2?，应该填写：2?
例3 若P(x,y)及Q(x,y)在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分?Pdx?Qdy与路径无关的充分必要条件是（）．
l
A．在域D 内恒有
?P?x
?
?Q?y
B．在域D 内恒有
?Q?x
?
?P?y
C．在D 内任一条闭曲线l?上，曲线积分Pdx?Qdy?0
l?
D．在D 内任一条闭曲线l?上，曲线积分Pdx?Qdy?0
l?
解：若P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则
?Q?x
?P?y
P(x,y)dx?Q(x,y)dy与路径无关?
l
?,(x,y)?D。
所以选择：B
例4 设C是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的． A．?3yxdx?xdyB．?ydx?xdy
C
C
2
3
C．?2xydx?xdy D．?3yxdx?ydy
C
C
223
解：因为选项A中，
?P?y
?
?(3yx)?y
2
?3x,
3
?Q?x
?
?(x)?x
3
?3x，由曲线积分与路径无
2
关的充分必要条件知道，正确选择：A
例5 设积分路径l:?
?x??(t)?y??(t)
，(??t??)，那么第二类曲线积分计算公式
． ?P(x,y)dx?Q(x,y)dy=（ ）
l
A．?[P(?(t),?(t))??(t)?Q(?(t),?(t))??(t)]dt
?
?
B．?[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]??(t)dt
?
?
C．?[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]??(t)dt
?
?
D．?[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]dt
?
?
解：因为积分曲线的路径由参数方程l:?
?
?x??(t)?y??(t)
，(??t??)给出，把参数方程代
入曲线积分中，得：?[P(?(t),?(t))??(t)?Q(?(t),?(t))??(t)]dt
?
所以正确选择：A
例6 计算?(esiny?3y?x)dx?(ecosy?x)dy，其中l 为由点A(3,0)经椭圆
l
x
2
x
?x?cost
的上半弧到点B(?3,0)再沿直线回到A的路径． ?
?y?2sint
解：由于l为封闭曲线，故原式可写成
(e
l
x
2
x
siny?3y?x)dx?(ecosy?x)dy
Q?ecosy?x，由格林公式
2
x
x
2x
其中P?esiny?3y?x,
x
原式=(esiny?3y?x)dx?(ecosy?x)dy?
l
x
x
??[
D
?Q?x
?
?P?y
]dxdy
=??[(ecosy?1)?(ecosy?3]dxdy
D
=??2dxdy=2?
D
12
??3?2=6?
例7．计算(esiny?
l
x
y
2
2
)dx?(ecosy?
x
12
)dy，其中l 是上半圆周x?y
22
?2x
(y?0)和x轴围成平面区域边界的正向．
解：?P?esiny?
x
y
2
2
,Q?ecosy?
x
12
，由格林公式得
(esiny?
l
x
y
2
2
x
)dx?(ecosy?
x
x
12
)dy?
??[
D
?Q?x
?
?P?y
]dxdy
=??[ecosy?(ecosy?y)]dxdy=??ydxdy
D
D
?
=?2sin?d?
0?
2cos?
rdr=
2
83
?
?
2
sin?cos?d?
3
?
=
2
23
(?cos?)
2
4
2
?
23
例8 计算xydy?xydx，其中l:x2?y2?1逆时针方向．
l
解：?P??x2y,
Q?xy，由格林公式得
2
2
2
l
xydy?xydx?
??[
D
?Q?x
2?
?
?P?y
1
]dxdy
=
2
??(x
2
2
?y)dxdy=?
2
d??rdr
3
x?y?1
=2??
14
?
?
2
篇二：第十一章 曲线积分与曲面积分经典例题
第十一章 曲线积分与曲面积分
内容要点
一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy面内的一段曲线L（图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为?(x,y)，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质
性质1 设?，?为常数，则
?L[?f(x,y)??g(x,y)]ds???f(x,y)ds??
L
?Lg(x,y)ds；
性质2设L由L1和L2两段光滑曲线组成(记为L? L1?L2)，则
?L?L
1
f(x,y)ds?
2
?L
f(x,y)ds?
1
?L
f(x,y)ds.
2
注： 若曲线L可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L是光滑的或分段光滑的.
性质3 设在L有f(x,y)?g(x,y)，则
?
L
f(x,y)ds?
?g(x,y)ds
L
性质4（中值定理）设函数f(x,y)在光滑曲线L上连续，则在L上必存在一点(?,?)，使
其中s是曲线L的长度.
三、第一类曲线积分的计算：?
?x?x(t),?y?y(t),
(??t??)
?
L
f(x,y)ds?f(?,?)?s
?L
?L?L?L
f(x,y)ds?
??
?
f[x(t),y(t)]x?(t)?y?(t)dt (1.10)
22
如果曲线L的方程为 y?y(x),a?x?b，则
f(x,y)ds?
?af[x,y(x)]?c
d
b
?y?(x)dx (1.11)
2
如果曲线L的方程为 x?x(y),c?y?d，则
f(x,y)ds?
f[x(y),y]?x?(y)dy(1.12)
2
如果曲线L的方程为 r?r(?),?????，则
f(x,y)ds?
??
?
22
f(rcos?,rsin?)r(?)?r?(?)d?
222222
例5（E03）计算?|y|ds, 其中L为双纽线（图10-1-4）(x?y)?a(x?y)的
L
弧.
解 双纽线的极坐标方程为 r?acos2?.
2
22
用隐函数求导得 rr???asin2?,r???
asin2?
r
2
,
ds?r?r?d??
?
22
r?
2
asin
r
2
42
2?
2
d??
?
a
2
r
d?.
所以
?
L
|y|ds?4?4rsin??
a
r
d??4a
2
?
4
sin?d??2(2?2)a.
2
内容要点
一、引例：设有一质点在xOy面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,在移动过程中，这质点受到力
???
F(x,y)?P(x,y)i?Q(x,y)j
(2.1)
?
的作用，其中P(x,y)，Q(x,y)在L上连续. 试计算在上述移动过程中变力F(x,y)所作的功.
???
二、 第二类曲线积分的定义与性质：A(x,y)?P(x,y)i?Q(x,y)j
?L
??A?tds?
?L(Pcos?
?Qcos?)ds
平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是
?LP(x,y)
?Q(x,y)dy?
?LP(x,y)dx??LQ(x,y)dy
；
性质1 设L是有向曲线弧, ?L是与L方向相反的有向曲线弧，则
?Q(x,y)dy???P(x,y)dx?Q(x,y)dy
L
即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.
性质2 如设L由L1和L2两段光滑曲线组成，则
?LPdx
?Qdy?
?L
Pdx?Qdy?
1
?L
Pdx?Qdy
2
.
三、第二类曲线积分的计算：x?x(t), y?y(t),
?L
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
??{P[x(t),y(t)]x?(t)?Q[x(t),y(t)]y?(t)}dt. (2.9)
?
如果曲线L的方程为 y?y(x),起点为a, 终点为b，则
?L?L
内容要点 一、格林公式
Pdx?Qdy?
?a{P[x,y(x)]?Q[x,y(x)]y?(x)}dx. ?c{P[x(y),y]x?(y)?Q[x(y),y]}dy.
d
b
如果曲线L的方程为x?x(y), 起点为c, 终点为d，则
Pdx?Qdy?
定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有
??Q?P???????x?y??dxdy?
?D?
LPdx
?Qdy
(3.1)
其中L是D的取正向的边界曲线.
若在格林公式(3.1)中，令P??y,
Q?x, 得
2??dxdy?
D
Lxdy
?ydx12
，
?ydx.
上式左端是闭区域D的面积A的两倍，因此有 A?
Lxdy
二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件
定理2 设开区域D是一个单连通域，函数P(x,y)及Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：
（1） 曲线积分?Pdx?Qdy在D内与路径无关；
L
（2）表达式Pdx?Qdy为某二元函数u(x,y)的全微分； （3）
?P?y
??Q?x
在D内恒成立；
（4）对D内任一闭曲线L，?Pdx?Qdy?0.
L
由定理的证明过程可见，若函数P(x,y)，Q(x,y)满足定理的条件，则二元函数
u(x,y)?
?(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy (3.3)
(x,y)
满足 du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy， 我们称u(x,y)为表达式P(x,y)dx?Q(x,y)dy的原函数.
u(x,y)?
?x?x
x
P(x,y0)dx?P(x,y)dx?
?y
y
y
P(x,y)dy?C
或 u(x,y)?
2
x
?y
P(x0,y)dy?C
例4 计算??e?ydxdy, 其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭区域.
D
解 令P?0,Q?xe?y,则 应用格林公式,得
2
?Q?x
?
?P?y
?e
?y
2
.
??
D
e
?y
2
dxdy?
?
xe
?y
2
dy?
?
xe
OA
?y
2
dy?
?
1
xe
?x
2
dx?
12
(1?e
?1
).
OA?AB?BO
例5（E03）计算xdy?ydxx?y
2
2
,其中L为一条无重点
(1)
L
, 分段光滑且不经过原点的连续
闭曲线, L的方向为逆时针方向.
解记L所围成的闭区域为D,令P?
?Q?x
?yx?y?P?y.
2
2
,Q?
xx?y
2
2
,
则当x?y?0时，有
22
?
y?x
2
222
(x?y)
2
?
(1)当(0,0)?D时，由格林公式知
2
2
2
xdy?ydxx?y
2
2
L
?0;
(2)当(0,0)?D时，作位于D内圆周
l:x?y?r,记D1由L和l所围成,应用格林公式，得
xdy?ydxx?y
2
2
?
L
xdy?ydxx?y
2
2
l
?0.
2
2
2
2
故xdy?ydxx?y
2
2
?
L
xdy?ydxx?y
2
2
?
l
?
2?0
rcos??rsin?
r
2
d??
?
2?0
d??2?.
例6（E04）求椭圆x?acos?，y?bsin?所围成图形的面积A. 解所求面积
A?
12xdy?ydx?
1
L
2?
2?0
(abcos??absin?)d??
22
12
ab
?
2?0
d???ab.
例7 计算抛物线(x?y)2?ax(a?0)与x轴所围成的面积. 解 ONA为直线y?0.曲线AMO为 y?ax?x,x?[0,a].
?A?
1212
??
a
xdy?ydx?
AMO
12
?
xdy?ydx?
ONA
12
?
xdy?ydx
AMO
?xdy?ydx?
AMO
1
?a?
?dx?(ax?x)dxx??1?2a??2ax?
?
?
4
?
a0
xdx?
16
a.
(6,8)
2
例10（E06）计算?
xdx?ydyx
2
,积分沿不通过坐标原点的路径.
(1,0)
?y
2
解 显然,当(x,y)?(0,0)时，
xdx?ydyx?y
2
2
?dx?y,
22
于是
?
(6,8)(1,0)
xdx?ydyx?y
2
2
?
?
(6,8)
d
(1,0)
x?y
22
?x?y
2
2(6,8)
(1,0)
?9.
例 12 验证: 在整个xOy面内, xy2dx?x2ydy是某个函数的全微分, 并求出一个这样 的函数.
证2利用原函数法求全微分函数u(x,y). 由
?
u?y
?xy
2
u??xydx?
2
xy2
22
??(y),
其中?(y)是y的待定函数.由此得
?u?y
?xy???(y).
2
又u必须满足
?
u?y
?xy
2
x2y??'(y)?x
2y ?'(y)?0 ?(y)?C,
所求函数为u?x2y2/2?C.
例13（E07）设函数Q(x,y)在xoy平面上具有一阶连续偏导数, 曲线积分与路径无关, 并且对任意t, 总有
(t,1)
(1,t)
?
求Q(x,y).
(0,0)
2xydx?Q(x,y)dy?
?
(0,0)
2xydx?Q(x,y)dy,
解 由曲线积分与路径无关的条件知
?Q?x
?2x,
于是Q(x,y)?x2?C(y),其中C(y)为待定函数.
??
(t,1)
2xydx?Q(x,y)dy?
(0,0)(1,t)
??
10t
(t?C(y))dy?t?
22
?
t0
10
C(y)dy,
2xydx?Q(x,y)dy?
(0,0)
1
(1?C(y))dy?t?
t0
?
C(y)dy,
由题意可知t2?
?
C(y)dy?t?
0?
C(y)dy.
两边对t求导,得
2t?1?C(t)或C(t)?2t?1. 所以Q(x,y)?x2?2y?1.
例14（E08）设曲线积分?xy2dx?y?(x)dy与路径无关, 其中?具有连续的导数, 且
L
?(0)?0,计算?
(1,1)
(0,0)
xydx?y?(x)dy.
2
解 P(x,y)?xy2,Q(x,y)?y?(x),
?P?y
???y
(xy)?2xy,
2
?Q?x
?
??x
[y?(x)]?y?'(x).
因积分与路径无关散?P?y
?
?Q?x
,
由y?'(x)?2xy?(x)?x2?C. 由?(0)?0,知C?0?(x)?x2. 故?
(1,1)(0,0)
xydx?y?(x)dy?
2
?
y
1
0dx?
0?
1
ydy?
12
.
例15 选取a,b使表达式
[(x?y?1)e?ae]dx?[be?(x?y?1)e]dy
y
x
y
篇三：高等数学(2)第12章第二类曲线积分典型例题解析
高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析
例1 若对任意的x，y有
解：由格林公式将 ?Q?P，设C是有向闭曲线，则Pdx?Qdy． ?C?x?y
CP(x,y)dx?Q(x,y)dy???(D?Q?P?)dxdy ?x?y
其中D为C l围成的平面区域，及条件?Q?P知，应该填写：0 ??x?y
22 例2．?ydx?xdy?_______，其中l是延圆周(x?1)?(y?1)?1正向一周． l 解：因为圆周(x?1)?(y?1)?1所围圆面积D为：1??，由格林公式得：222
?ydx?xdy???(1?1)dxdy=2?，应该填写：2? lD
例3 若P(x,y)及Q(x,y)在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分Pdx?Qdy与路径无关的充分必要条件是（）． l?
A．在域D 内恒有?P?Q?Q?PB．在域D 内恒有 ???x?y?x?y
C．在D 内任一条闭曲线l?上，曲线积分
D．在D 内任一条闭曲线l?上，曲线积分Pdx?Qdy?0 l?Pdx?Qdy?0 l?
解：若P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则P(x,y)dx?Q(x,y)dy与路径无关?l?Q?P?,(x,y)?D。 ?x?y
所以选择：B
例4 设C是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的．
A．
C．?3yxdx?xdyB．?C23Cydx?xdy ?C2xydx?x2dy D．?3yx2dx?y3dy C
?P?(3yx2)?(x3)3?Q??3x,??3x2，由曲线积分与路径无解：因为选项A中，?y?y?x?x
关的充分必要条件知道，正确选择：A
例5 设积分路径l:??x??(t)，(??t??)，那么第二类曲线积分计算公式
?y??(t)
． ?P(x,y)dx?Q(x,y)dy=（ ）l
A．
B．
C．
D．??[P(?(t),?(t))??(t)?Q(?(t),?(t))??(t)]dt ???[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]??(t)dt ??[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]??(t)dt ??[P(?(t),?(t))?Q(?(t),?(t))]dt
?x??(t)，(??t??)给出，把参数方程代
?y??(t)??? 解：因为积分曲线的路径由参数方程l:?
入曲线积分中，得：???[P(?(t),?(t))??(t)?Q(?(t),?(t))??(t)]dt
2x 所以正确选择：A 例6 计算(esiny?3y?x)dx?(ecosy?x)dy，其中l 为由点A(3,0)经椭圆l?x
?x?cost的上半弧到点B(?3,0)再沿直线回到A的路径． ??y?2sint
解：由于l为封闭曲线，故原式可写成
x2x(esiny?3y?x)dx?(ecosy?x)dy l
其中P?esiny?3y?x,x2Q?excosy?x，由格林公式
2x原式=(esiny?3y?x)dx?(ecosy?x)dy?lx??[D?Q?P?]dxdy ?x?y
=xx[(ecosy?1)?(ecosy?3]dxdy ??D
=1=2dxdy2???3?2=6? ??2D
y21)dx?(excosy?)dy，其中l 是上半圆周x2?y2?2x 例7．计算(esiny?l22x
(y?0)和x轴围成平面区域边界的正向．
y21,Q?excosy?，由格林公式得 解：?P?esiny?22x
y21?Q?Px?[?]dxdy (esiny?)dx?(ecosy?)dy??l?x?y22Dx
=??[e
Dxcosy?(excosy?y)]dxdy=??ydxdy D
2cos??
=?2
0sin?d??08rdr=?2sin?cos3?d? 302?
=222(?cos4?)? 330
2?22 例8 计算xydy?xydx，其中l:x?y?1逆时针方向． 2
l
解：?P??xy,2Q?xy2，由格林公式得
22xydy?xydx???[lD?Q?P?]dxdy ?x?y
2?1=
x2?y2?1223=(x?y)dxdyd?r????dr 00
=2??
1?? 42